Question

13．函数f（x）=x1nx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（II）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用f′（1）=0得到a，并利用极值的充分条件进行检验即可；
（II）由题意可得：xlnx-ax²-x＜-x，由x＞0，可化为a＞$\frac{lnx}{x}$，设h（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用导数即可得到极值及其最值；

解答 解：（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．
∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．
∴f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）内单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
（II）由题意可得：xlnx-ax²-x＜-x，
∴xlnx-ax²＜0，
∵x＞0，∴a＞$\frac{lnx}{x}$．
设h（x）=$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在区间（0，e）上单调递增；
令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在区间（e，+∞）上单调递减．
∴h（x）在x=e时取得极大值，即最大值，h（e）=$\frac{1}{e}$．
∴a＞$\frac{1}{e}$．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．