Question

1．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃（1-S_n）（n∈N^*），求适合方程$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{25}{51}$的n的值．．

Answer 1

分析 （1）由已知中数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．利用S_n法，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃（1-S_n）=n，结合裂项相消法，构造关于n的方程，解得答案．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．
∴n=1时，S₁+$\frac{1}{2}$a₁=$\frac{3}{2}$a₁=1，
解得：a₁=$\frac{2}{3}$，
当n≥2时，S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1，
两式相减得：$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1=0，即a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
∴a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$=$1-（\frac{1}{3}）^{n}$，
b_n=log₃（1-S_n）=-n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{25}{51}$，
解得：n=101

点评 本题考查的知识点是求数列的通项公式，数列求和，对数的运算，难度中档．