Question

18．正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，利用cos$＜\overrightarrow{AS}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AS}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AS}||\overrightarrow{BE}|}$，即可得出．

解答 解：如图所示建立空间直角坐标系，
不妨OA=1，则A（1，0，0），S（0，0，1），B（0，1，0），C（0，-1，0），
E$（-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}）$．
$\overrightarrow{AS}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{BE}$=$（-\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}）$．
∴cos$＜\overrightarrow{AS}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AS}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AS}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴BE与SA所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选；C．

点评 本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．