Question

8．将函数f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后，得到的函数的图象关于点$（\frac{π}{2}，0）$对称，则函数$g（x）=\frac{1}{2}sin（2x+φ）$在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$上的最小值为（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及余弦函数的性质可解得φ的值，求得函数g（x）的解析式为g（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$），利用余弦函数值域求得函数g（x）的最值．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），
∴将函数f（x）图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后，得到函数解析式为：
y=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）+φ+$\frac{π}{3}$]=2cos（2x+φ+$\frac{π}{3}$）．
∵函数的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称，
∴对称中心在函数图象上，可得：2cos（2×$\frac{π}{2}$+φ+$\frac{π}{3}$）=2cos（π+φ+$\frac{π}{3}$）=0，
故有 φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{6}$，则函数$g（x）=\frac{1}{2}sin（2x+φ）$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，则g（x）  在 $[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$ 上，当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，g（x）取得最小值是-$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性、定义域、值域，属于中档题．