Question

2．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（Ⅰ）求出f（5）的值；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n）与f（n-1）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式．

Answer 1

分析 先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．

解答 解：（Ⅰ）f（5）=41…（4分）
（Ⅱ）因为f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，f（4）-f（3）=12=4×3，f（5）-f（4）=16=4×4
由以上规律，所以得出f（n）-f（n-1）=4（n-1）…（8分）
f（n）-f（n-1）=4（n-1）
f（n-1）-f（n-2）=4（n-2）
…f（3）-f（2）=8=4×2
f（2）-f（1）=4=4×1
相加得：f（n）-f（1）=4[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）]=$4×\frac{n（n-1）}{2}=2{n^2}-2n$，
∴f（n）=2n²-2n+1…（12分）

点评 本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．