Question

2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，M为PB的中点．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知中PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，我们由三垂线定理，得CD⊥PD，结合线面垂直判定定理，可以得到CD⊥平面PAD，进而由面面垂直的判定定理，可以得到面PAD⊥面PCD；
（2）在MC上取一点N（x，y，z），要使AN⊥MC，只需$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，求得N的坐标，即有AN⊥MC，BN⊥MC，进而得到∠ANB为所求二面角A-MC-B的平面角，运用向量夹角公式可得二面角的余弦值．

解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理，得CD⊥PD，
∵CD⊥AD，CD⊥PD，且PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（2）解：设AB=2，PA=CD=AD=1，
以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，
则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$）．
在MC上取一点N（x，y，z），则存在使$\overrightarrow{NC}$=λ$\overrightarrow{MC}$，
$\overrightarrow{NC}$=（1-x，1-y，-z），$\overrightarrow{MC}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），
∴x=1-λ，y=1，z=$\frac{1}{2}$λ．
要使AN⊥MC，只需$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MC}$=0即x-$\frac{1}{2}$z=0，解得λ=$\frac{4}{5}$．
可知当λ=$\frac{4}{5}$时，N点坐标为（$\frac{1}{5}$，1，$\frac{2}{5}$），能使$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MC}$=0．
此时，$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{5}$，1，$\frac{2}{5}$），$\overrightarrow{BN}$=（$\frac{1}{5}$，-1，$\frac{2}{5}$），
有$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，
由$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，得AN⊥MC，BN⊥MC．
所以∠ANB为所求二面角A-MC-B的平面角．
|$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{BN}$|=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{BN}$=-$\frac{4}{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AN，}$$\overrightarrow{BN}$＞=$\frac{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{AN}|•|\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{30}{25}}$=-$\frac{2}{3}$，
故所求的二面角的余弦值为-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查空间中的线面垂直和面面垂直的判定定理、二面角、向量等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．