Question

19．在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，那么以B，C为焦点且过点D，E的双曲线的离心率是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 首先设三角形的边长为4，并以BC为横轴，BC的中垂线为纵轴建立坐标系，进而写出A、B、C、D、E的坐标，然后根据双曲线的定义得出a的值，即可求出结果．

解答 解：以BC为横轴，BC的中垂线为纵轴，设B（-2，0）C（2，0）
则A（0，2$\sqrt{3}$），D（-1，$\sqrt{3}$），E（1，$\sqrt{3}$），c=2，
∵椭圆与双曲线均过D，E，
∴2a=BE-CE=2（$\sqrt{3}$-1），
∴a=$\sqrt{3}$-1，
∴e=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案为$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了双曲线的定义以及性质，对于选择题与填空题可以采取灵活多样的方法作答，其中取特殊值法是常用方法．