Question

20．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图所示）．
（1）由图象，求函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元．试用销售单价x表示毛利润S，并求销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？

Answer 1

分析 （1）把点（700，300）和点（600，400）分别代入一次函数y=kx+b，解方程组求得k和b的值，即可得到一次函数y=kx+b的表达式．
（2）由题意可得 S=y•x-500y，化简可得S=-x²+1500x-500000，利用二次函数性质求出函数的最大值以及函数取最大值时x的值．

解答 解：（1）把点（700，300）和点（600，400）分别代入一次函数y=kx+b
可得 300=700k+b，且400=600k+b，
解得 k=-1，b=1000，
故一次函数y=kx+b的表达式为 y=-x+1000（500≤x≤800）． 6分
（2）∵公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S，
则S=y•x-500y=（-x+1000 ）x-500（-x+1000）=-x²+1500x-500000．
故函数S的对称轴为x=750，满足500≤x≤800，故当x=750时，函数S取得最大值为62500元，
即当销售单价定为750元/价时，该公司可获得最大的毛利润为62500元，此时y=250． 14分．

点评 本题主要考查用待定系数法求直线方程，二次函数性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．