Question

12．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0），满足条件f（0）=0，f（1+x）=f（1-x）恒成立，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意：f（0）=0，f（1+x）=f（1-x）恒成立，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．△=0，可求a，b，c的值，可得解析式
（Ⅱ）（m＜n），f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，利用单调性求解．

解答 解：（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足条件f（0）=0，∴c=0，
又 f（1+x）=f（1-x）恒成立，∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
而二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，∴$-\frac{b}{2a}=1$①
又方程f（x）=x有等根，即 ax²+（b-1）x=0有等根．∴△=（b-1）²=0②
由①②得 $b=1，\;\;a=-\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的解析式$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x=-\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}$，
对称轴x=1，
如果存在满足条件的m，n，则必需$3n≤\frac{1}{2}$，∴$n≤\frac{1}{6}$，
从而$m＜n≤\frac{1}{6}＜1$，而x≤1时，f（x）单调递增，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（m）=-\frac{1}{2}{m^2}+m=3m}\\{f（n）=-\frac{1}{2}{n^2}+n=3n}\end{array}}\right.$，解得 m=-4，n=0．
所以，存在m=-4，n=0满足条件．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法和性质的运用．属于中档题．