Question

11．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE=$\frac{1}{2}$EC，AD，BE交于点F，设$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$分别表示向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EB}$；
（2）若$\overrightarrow{AF}$=t$\overrightarrow{AD}$，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的线性运算，即可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$分别表示向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EB}$；
（2）若$\overrightarrow{AF}$=t$\overrightarrow{AD}$，利用$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{EB}$共线，求实数t的值．

解答 解：（1）由题意，D为BC的中点，且$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$=-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$；
（2）∵$\overrightarrow{AF}$=t$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{a}$+（2-t）$\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{EB}$=-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{EB}$共线，
∴$\frac{-1}{-\frac{4}{3}}=\frac{2-t}{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量的线性运算，考查向量共线条件的运用，属于中档题．