Question

1．如图所示，正三角形ABC的边长为2，其外接圆为圆O，点D为劣弧AB上一个动点（不与点重合），过点D与AB的中心P的直线交圆O于另一点E，则$\frac{2}{3}$EP+DP的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 令PD=x，则由相交弦定理可得PB•PA=PD•PE，求出PE，$\frac{2}{3}$EP+DP=$\frac{2}{3x}$+x，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：由题意，AP=BP=1，
令PD=x，则由相交弦定理可得PB•PA=PD•PE，
∴PE=$\frac{1}{x}$，
∴$\frac{2}{3}$EP+DP=$\frac{2}{3x}$+x≥2$\sqrt{\frac{2}{3x}•x}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
当且仅当$\frac{2}{3x}$=x，即x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时取等号，
∴$\frac{2}{3}$EP+DP的最小值为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查相交弦定理、基本不等式的运用，正确求出PE、利用基本不等式是关键．