Question

（1）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线l和曲线C：

x=s+ 1 s y=s- 1 s

（s为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．
（2）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）写出直线的参数方程，代入曲线方程得到关于s 的一元二次方程，利用根与系数的关系，代入弦长公式求得 AB的长．
（2）不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²求出x+2y+2z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可．

解答：解：（1）解：直线的参数方程为 

x = -3 +  3 2 s y =  1 2 s

   （s 为参数），曲线

x=s+ 1 s y=s- 1 s

可以化为  x²-y²=4．
将直线的参数方程代入上式，得  s2-6

3

s+ 10 = 0．
设A、B对应的参数分别为 s₁，s₂，∴s1+  s2= 6 

3

，s₁•s₂=10．
∴AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

=2

17

．
（2）解：由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，当且仅当

x 1 = y 2 = z 2 ＞0 x2+y2+z2=1

即 x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

时，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．
故答案为：a≥4或a≤-2．

点评：本题考查柯西不等式的应用、直线的参数方程，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，利用 AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

 是解题的关键．