Question

已知M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a是常数），且y=

OM

•

ON

（O是坐标原点）．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，

π

2

]，f（x）的最大值为4，求a的值；若此时f（x）的图象可由 y=2sin2x的图象按向量

m

平移得到，求向量

m

．

Answer 1

分析：（1）由题意可得y=f（x）=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a，在利用两角和的正弦公式化为 2sin（2x+

π

6

）+a+1．
（2）由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值为2+a+1=4，可得a=1．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性以及图象变换规律，
求得向量

m

的坐标．

解答：解：（1）由题意可得y=f（x）=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1．
（2）由x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，
故f（x）的最大值为2+a+1=4，a=1．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2=2sin2（x+

π

12

）+2的周期为π，故把y=2sin2x的图象按照向量

m

=（kπ-

π

12

，2）平移可得．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．