Question

已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（其中M＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设α∈(

π

6

，  

2π

3

)，  β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，  f(

α

2

)=

3

5

，  f(

β

2

)=-

4

5

，求cos2（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数的图象看出振幅和周期，做出ω的值，根据函数过的一个点，把点的坐标代入解析式，根据φ的三角函数值和范围，得到结果．
（2）根据所给的角的范围和角的函数值，求出要用的函数值，这是一个给值求值的过程，最后有角的变换，一个凑角的过程，再根据二倍角公式得到结果．

解答：解：（1）由图知，M=1，∵周期T=4(

7π

12

-

π

3

)=π，
∴ω=

2π

π

=2∴f（x）=sin（2x+φ）
又∵f(

7π

12

)=-1，
∴sin(

7π

6

+φ)=-1，
∴

7π

6

+φ=2kπ+

3π

2

(k∈Z)
∴φ=2kπ+

π

3

∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

∴f(x)=sin(2x+

π

3

)．
（2）∵f(

α

2

)=

3

5

，  f(

β

2

)=-

4

5

，
∴sin(α+

π

3

)=

3

5

，  sin(β+

π

3

)=-

4

5

．
∵α∈(

π

6

，  

2π

3

)，  β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，
∴α+

π

3

∈(

π

2

，  π)，  β+

π

3

∈(-

π

2

，  0)
于是cos(α+

π

3

)=-

4

5

，  cos(β+

π

3

)=

3

5

．
∵sin(α-β)=sin[(α+

π

3

)-(β+

π

3

)]=sin(α+

π

3

)cos(β+

π

3

)-cos(α+

π

3

)sin(β+

π

3

)=

3

5

•

3

5

-(-

4

5

)•(-

4

5

)=-

7

25

，
∴cos2(α-β)=1-2sin2(α-β)=1-2×(-

7

25

)2=

527

625

．

点评：本题考查三角函数的解析式的求法和给值求值问题，在解题规程中一定要注意角的变换问题，注意把未知的教转化成已知角来应用和求解．