Question

（文科）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
（1）PA⊥底面ABCD；     
（2）BE∥平面PAD；     
（3）平面BEF⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD；
（2）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．
（3）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，从而证得CD⊥EF．利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面BEF⊥平面PCD．

解答： 证明：（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PA⊥AD，PA?平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD．
（2）因为AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB=DE，
所以ABED为平行四边形，
所以BE∥AD．
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
（3）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD．
由（1）知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD．
又因为AD∩PA=A，所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD．
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，
所以CD⊥平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PCD．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．