Question

已知函数f（x）=1+a-4asinx-acos²x（a为常数且a≠0，x∈R），求f（x）的最值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：f（x）=asin²x-4asinx+1，令sinx=t，t∈[-1，1]，则函数即y=at²-4at+1，对称轴为直线x=2．分当a＜0时和a＞0时两种情况，分别利用二次函数的单调性，求得函数y的最值．

解答： 解：f（x）=1+a-4asinx-acos²x=asin²x-4asinx+1，
令sinx=t，t∈[-1，1]，则y=at²-4at+1，对称轴为直线x=2．
a＜0时，y=at²-4at+1在[-1，1]内递增，故当t=-1，y_min=a+4a+1=5a+1；
当t=1，y_max=a-4a+1=-3a+1．
a＞0时，y=at²-4at+1在[-1，1]内递减，故当t=-1，y_max=a+4a+1=5a+1；
当t=1，y_min=a-4a+1=-3a+1．

点评：本题主要正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．