Question

正三角形有这样一个性质：正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和为定值．且此定值即高．类比到空间正四面体，对于空间正四面体内任一点（不与顶点重合），关注它到四个面的距离和，请类比出一个正确的结论．并予以证明．

Answer 1

考点：类比推理

专题：规律型

分析：根据平面中的某些性质类比推理出空间中的某些性质，一般遵循“点到线”，“线到面”，“面到体”等原则，由在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，是一个与线有关的性质，由此可以类比推出空间中一个与面有关的性质，再由割补法可证明结论．

解答： 解：类比的结论是：空间正四面体内任一点（不与顶点重合）到它的四个面的距离和为定值．且此定值即正四面体的高．…..3
下面给出证明：如图：
正四面体ABCD，P为其内部一点，则点P将四面体分成四个共顶点的三棱锥．设点P到四个面的距离分别记为PM₁，PM₂，PM₃，PM₄，正四面体的高记为h
由V_P-BCD+V_P-ACD+V_P-ABD+V_P-ABC=V_ABCD…6 

得：

1

3

S△BCD•PM1+

1

3

S△ACD•PM2+

1

3

S△ABD•PM3+

1

3

S△ABC•PM4=

1

3

S△BCD•h…9
∵ABCD为正四面体，
∴四个面面积相同．
∴PM₁+PM₂+PM₃+PM₄=h…..12

点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．