Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数a的取值范围；
（2）讨论方程f（x）=x的根的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）分别讨论a的取值范围，得到单调递增区间，进而求出a的具体范围，
（2）引进新函数g（x）通过作差法解决问题．

解答： 解：（1）①若a=0，则f（x）=x²，满足f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②若a＜0，∵x²在（0，+∞）上单调递增，

a

x

在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③若a＞0，x在（0，+∞）上趋近于0时，f（x）趋近﹢∞，
而f（1）=1+a，与f（x）在（0，+∞）上单调递增矛盾．
综上知：a的取值范围为（-∞，0]．
（2）方程f（x）=x即

x3-x2+a

x

=0，
由（1）知a≤0，当a=0时，方程有唯一实数根x=1；
当a＜0时

x3-x2+a

x

=0等价于a=-x³+x²，（x≠0）
当x＜0时，-x³+x²＞0，故a=-x³+x²无解；
当0＜x≤1时，-x³+x²=-x²（x-1）≥0，故a=-x³+x²无解；
当x＞1时，令g（x）=-x³+x²，设1＜x₁＜x₂，
g（x₁）-g（x₂）=-x₁³+x₁²+x₂³-x₂²
=-（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）（x₁+x₂）
=-（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-x₁-x₂）
因为1＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁²-x₁＞0，x₂²-x₂＞0，
故-（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-x₁-x₂）＞0，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，
而g（1）=0，x趋近+∞时，g（x）趋近-∞，
故a=-x³+x²在x＞1时，有唯一解；
综上，方程f（x）=x有唯一实数根．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．