Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2

3

，PD=CD=2．
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（2）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据异面直线所成角的定义判定∠PAD为异面直线PA与BC所成的角，在△PAD中求角的正切值；
（2）通过证明线线垂直证明AD⊥平面PDC，再证平面PDC⊥平面ABCD；
（3）在平面PDC内，过点P作PE⊥CD，可证PE⊥平面ABCD，解△PCE求得PE，代入棱锥的体积公式计算可得答案．

解答： 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠PAD为异面直线PA与BC所成的角，
∵AD⊥PD，∴tan∠PAD=

PD

AD

=2；
（2）证明：由底面ABCD是矩形，得AD⊥CD，又AD⊥PD，CD∩PD=D，
∴AD⊥平面PDC，AD?平面ABCD，∴平面PDC⊥平面ABCD；
（3）在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，
∵平面PDC⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，
在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2

3

，可得∠PCD=30°．
在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=

3

，
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD•PE=

1

3

×2×2×

3

=

4

3

3

．

点评：本题考查了面面垂直的证明，考查了异面直线所成角的求法及棱锥的体积计算，考查了学生的视图能力与空间想象能力，解题的关键是利用面面垂直的性质求得棱锥的高．