Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，M为AC₁的中点，N为BB₁的中点，则|MN|为（　　）

• A、

  a

  2

• B、

  2

  2

  a
• C、

  2

  a
• D、2a

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由直角三角形的勾股定理和N为BB₁的中点，推出B₁N=BN=

a

2

，再由等腰三角形AC₁N中，M为AC₁的中点，应用勾股定理求出MN的长．

解答： 解：在直角三角形ABN中，AN²=AB²+BN²，
在直角三角形C₁B₁N中，C₁N²=C₁B₁²+B₁N²，
由于N为BB₁的中点，则B₁N=BN=

a

2

，
故AN=C₁N=

a2+ a2 4

=

5

2

a，
在等腰三角形AC₁N中，M为AC₁的中点，
则MN⊥AC₁，AC₁=

3

a，
MN²=AN²-AM²=

5

4

a2-

3

4

a2=

1

2

a2，
故MN=

2

2

a，
故选：B．

点评：本题考查空间两点间的距离，考查正方体中对角线长，及直角三角形的勾股定理，等腰三角形的三线合一，是一道基础题．