Question

解关于x的不等式x²-（k+1）x-2k²+2k≤0（k∈R）

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：把不等式x²-（k+1）x-2k²+2k≤0化为（x-2k）（x+k-1）≤0，得出对应方程（x-2k）（x+k-1）=0的两根，讨论k的取值，得出不等式的解集．

解答： 解：不等式x²-（k+1）x-2k²+2k≤0可化为
（x-2k）（x+k-1）≤0；
∵方程（x-2k）（x+k-1）=0的两根为
x₁=2k，x₂=1-k；
令2k=1-k，
得k=

1

3

；
∴①当k=

1

3

时，不等式的解集为{x|x=

2

3

}；
②当k＞

1

3

时，2k＞1-k，∴不等式的解集为{x|1-k≤x≤2k}；
③当k＜

1

3

时，2k＜1-k，∴不等式的解集为{x|2k≤x≤1-k}；
综上，k=

1

3

时，不等式的解集为{x|x=

2

3

}；
k＞

1

3

时，不等式的解集为{x|1-k≤x≤2k}；
k＜

1

3

时，不等式的解集为{x|2k≤x≤1-k}．

点评：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解题时应对字母系数进行讨论，是易错题．