Question

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，∠PDA=45°，AB=2，AD=1
（1）求证：MN∥平面PAD； 
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD；
（3）求MN与BC所成角的大小？

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PD的中点E，连结AE、EN，证明四边形AMNE是平行四边形，可得MN∥AE，利用线面平行的判定，即可得出结论；
（2）证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AE，利用∠PDA=45°，E为PD中点，证明AE⊥PD，从而AE⊥平面PCD，利用MN∥AE，可得MN⊥平面PCD，从而平面PMC⊥平面PCD；
（3）确定∠DAE为异面直线BC与MN所成的角即可求解．

解答： （1）证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN
则有EN∥CD∥AM，且EN=

1

2

CD=

1

2

AB=MA．
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE．
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）证明：∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD，AD?矩形ABCD所在的平面，
∴PA⊥CD，PA⊥AD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵∠PDA=45°，E为PD中点
∴AE⊥PD，
 又∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，
∴MN⊥平面PCD，
又∵MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD；                       
（3）解：∵MN∥AE，BC∥AD，
∴∠DAE为异面直线BC与MN所成的角，
∵AE⊥平面PCD
∴AE⊥DE，
又AE=DE=

2

2

，∴∠DAE=45°，
∴异面直线BC与MN所成的角为45°．

点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．