Question

设函数f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．
（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=xf（x）+p（2x²-x-1）（x≥1），求证：当p≤-

1

2

时，有g（x）≤0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；
（2）对于任意实数x≥1，g（x）≤0恒成立，等价于xlnx+p（x²-1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x²-1），由于g（1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x²-1）在x≥1时是减函数，再分离参数p，问题转化为求函数的最小值．

解答： 解：（1）当p=1时，f（x）=ln x-（x-1），f′（x）=

1

x

-1，
令f′（x）=0，∴x=1，∵x∈（0，+∞）
故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x²-x-1）=xlnx+p（x²-1），
则xlnx+p（x²-1）≤0，
设g（x）=xlnx+p（x²-1），由于g（1）=0，
故只须g（x）=xlnx+p（x²-1）在x≥1时是减函数即可，
又因为g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，
即p≤-

lnx+1

2x

在x≥1时恒成立，
∵(-

lnx+1

2x

)′=

lnx

2x

=0时，x=1．
∴x=1时，-

lnx+1

2x

能取到最小值-

1

2

，
∴当p≤-

1

2

时，有g（x）≤0．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查了函数最值的运用，有一定的综合性．