Question

如图，三棱锥A-BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，H、G分别是棱AD、CD上的点，且EH∩FG=K．求证：
（1）EH，BD，FG三条直线相交于同一点K；
（2）EF∥HG．

Answer 1

考点：平面的基本性质及推论,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证P为两个平面的公共点，利用两个平面的公共点在两个平面的公共直线上，证线共点；
（2）证明EF∥平面ACD，E，F，G，H，K共面于平面EFK，即可得证．

解答： 证明：（1）∵E、H分别是棱AB、AD上的点，
∴EH?平面ABD-------1’
又∵EH∩FG=K，∴K∈EH，即K∈平面ABD-------2’
同理可证，K∈平面BCD--------3’
∵平面ABD∩平面BCD=BD∴K∈BD-----4’
即EH，BD，FG三条直线相交于同一点K．---------5’
（2）连接EF，HG（如图），
∵在△ABC中，E，F分别是棱AB，BC的中点，
∴EF∥AC--------6’
∵EF?平面ACD，-----7’
∴EF∥平面ACD-----8’
又∵H，G分别是棱AD，CD的点，且EH∩FG=K，
∴E，F，G，H，K共面于平面EFK，
且平面EFK∩平面ACD=HG-------9’
故EF∥HG------10’

点评：本题考查了用公理2证明点共线问题，考查平行关系的转化，考查了学生的空间想象能力和推理论证能力，本题较好的体现了线线、线面平行关系的转化．