Question

如图，已知点M、N是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的两棱A₁A与A₁B₁的中点，P是正方形ABCD的中心，
（1）求证：MN∥平面PB₁C．
（2）求证：D₁B⊥平面PB₁C．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）证明PB₁⊥D₁B，AC⊥D₁B，利用线面垂直的判定定理即可证明．

解答： 证明：（1）连接AC，则AC一定过点P，连接AB₁．
∵A₁M=MA，A₁N=NB₁，∴MN∥AB₁．
又MN?平面AB₁C，AB₁?平面AB₁C，
∴MN∥平面AB₁C，即MN∥平面PB₁C．
（2）连D₁B₁，PB，
∵

D1D

DB

=

PB

BB1

=

1

2

，∠D₁DB=∠PBB₁=90°，
∴△D₁DB∽△PBB₁，
∴∠D₁DB=∠BB₁P，
∵∠PBB₁=90°，
∴∠B₁PB+∠D₁BD=90°，
∴PB₁⊥D₁B①
∴B₁B⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
∵AC⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面B₁D
∵BD₁?平面B₁D，
∴AC⊥D₁B②
∵PB₁∩AC=P以及 ①②得：D₁B⊥平面PB₁C．

点评：熟练掌握线面平行、垂直的判定定理是解题的关键．