Question

设函数f（x）=sinxcosx-

3

cos（x+π）cosx（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用诱导公式，除次升角公式和和差角公式，将函数f（x）的解析式化为f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，进而可得f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[0，

π

3

]，求出相位角的范围，进而结合正弦型函数的图象和性质，可求出y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinxcosx-

3

cos（x+π）cosx
=sinxcosx+

3

cos²x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∵ω=2，
f（x）的最小正周期T=π，
（2）∵x∈[0，

π

3

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，
∴sin（2x+

π

3

）+

3

2

∈[

3

2

，

3

2

+1]，
即y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域为[

3

2

，

3

2

+1]．

点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数公式，正弦型函数的值域和周期，是三角函数图象和性质的综合应用，难度中档．