Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，∠BAE=90°，且AD⊥AE．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以A为原点，AE、AB、AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证明

BD

•

AC

=0，

BD

•

AE

=0，可得BD⊥AC，BD⊥AE，即可证明BD⊥平面AEC，从而平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）求出平面BED的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EC与平面BED所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：以A为原点，AE、AB、AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）
设正方形边长为2，则E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2）…（2分）

AC

=（0，2，2），

BD

=（0，-2，2），

AE

=（2，0，0），

ED

=（-2，0，2），
从而有

BD

•

AC

=0，

BD

•

AE

=0，
即BD⊥AC，BD⊥AE，
因为AC∩AE=A，
所以BD⊥平面AEC，
因为BD?平面BED，
所以平面BED⊥平面AEC．…（6分）
（Ⅱ）解：设平面BED的法向量为

n

=（x，y，z），
则

z=x y=z

，故取

n

=（1，1，1）…（8分）
而

EC

=（-2，2，2），设直线EC与平面BED所成的角为θ，
则有sinθ=|cos＜

n

，

EC

＞|=

| n • EC |

| n || EC |

=

1

3

         …（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定、直线与平面所成的角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．