Question

已知函数f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2cos（2x+

π

6

）-2，可得周期；
（2）由x的范围结合余弦函数的单调性可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3
=1-cos（2x-

π

2

）+

3

cos2x-3
=-sin2x+

3

cos2x-2
=2cos（2x+

π

6

）-2，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴当2x+

π

6

=

2π

3

，即x=

π

4

时，f（x）取最大值-3，
当2x+

π

6

=π，即x=

5π

12

时，f（x）取最小值-4

点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．