Question

证明：1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

≤

2n-1

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．

解答： 证明：①当n=1，不等式显然成立．…（2分）
②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时不等式成立，
即1+

1

3

+…+

1

2k-1

≤

2k-1

，…（4分）
当n=k+1时，
左边=1+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k+1

≤

2k-1

+

1

2k+1

=

2k-1 2k+1 +1

2k+1

≤

(2k-1)+(2k+1) 2 +1

2k+1

=

2k+1

2k+1

=

2k+1

．
即n=k+1时，不等式成立．…（7分）
由①②可知，对一切n∈N^*都有1+

1

3

+…+

1

2n-1

≤

2n-1

(n∈N*)．…（8分）

点评：本题考查数学归纳法证明含自然数n的表达式的证明方法，注意n=k+1的证明时，必须用上假设．