Question

袋中有3个红球，4个白球，3个黑球，从中任取三个球．
（Ⅰ）求取出的三个球中红球的个数不多于白球的个数的概率；
（Ⅱ）取出的三个球中红球个数与白球个数之和X的概率分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）取出的三个球中，红球多于白球的情况有3种：取到1红2黑、取到2红1黑或2红1白、取到3红，由此利用对立事件能求出取出的三个球中红球的个数不多于白球的个数的概率．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（1）取出的三个球中，红球多于白球的情况有3种：
取到1红2黑、取到2红1黑或2红1白、取到3红，
∴取出的三个球中红球的个数不多于白球的个数的概率：
p=1-

C 2 3 C 1 3

C 3 10

-

C 2 3 C 1 3 +C 2 3 C 1 4

C 3 10

-

C 3 3

C 3 10

=

89

120

．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，
P（X=1）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

21

120

，
P（X=2）=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

63

120

，
P（X=3）=

C 3 7

C 3 10

=

35

120

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 120	21 120	63 120	35 120

EX=0×

1

120

+1×

21

120

+2×

63

120

+3×

35

120

=

21

10

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．