Question

设正项数列{a_n}的前n项和S_n，且满足S_n=

1

2

a

2 n

+

n

2

（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃的值，猜想{a_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）设T_n是数列{

1

a 2 n

}的前n项和，证明：T_n＜

4n

2n+1

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用递推导思想求出a₁=1，a₂=2，a₃=3．由此猜想a_n=n，再用数学归纳法进行证明．
（Ⅱ）证法一：由

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法和放缩法进行证明．
证法二：利用用数学归纳法进行证明．

解答： （Ⅰ）解：当n=1时，a1=S1=

1

2

a

2 1

+

1

2

，解得a₁=1，
a1+a2=S2=

1

2

a

2 2

+1，解得a₂=2，
a1+a2+a3=S3=

1

2

a

2 3

+

3

2

，解得a₃=3．
猜想a_n=n….3分，
证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立．
（ⅱ）假设当n=k时，a_k=k….4分，
则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

a

2 k+1

+

k+1

2

-(

1

2

a

2 k

+

k

2

)=

1

2

a

2 k+1

+

k+1

2

-(

1

2

k2+

k

2

)，
结合a_n＞0，解得a_k+1=k+1…..6分，
于是对于一切的自然数n∈N^*，都有a_n=n…7分．
（Ⅱ）证法一：∵

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…10分
∴Tn=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜2(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=2(1-

1

2n+1

)=

4n

2n+1

．…14分
证法二：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，T1=

1

12

=1，

4×1

2×1+1

=

4

3

，1＜

4

3

….8分
（ⅱ）假设当n=k时，Tk＜

4k

2k+1

…9分
则当n=k+1时，Tk+1=Tk+

1

(k+1)2

＜

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

要证：Tk+1＜

4(k+1)

2(k+1)+1

只需证：

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

＜

4(k+1)

2(k+1)+1

由于

4(k+1)

2(k+1)+1

-

4k

2k+1

=

4

(2k+3)(2k+1)

=

4

(2k+2)2-1

＞

1

(k+1)2

所以

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

＜

4(k+1)

2(k+1)+1

…13分
于是对于一切的自然数n∈N^*，都有Tn＜

4n

2n+1

….14分

点评：本题考查数列的通项公式的求法和证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．