Question

如图，已知点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，∠PDA=60°．
（1）求DP与CC₁所成角的大小；
（2）求DP与平面AA₁D₁D所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）以D为原点，DA为单位长，建立空间直角坐标系D-xyz．利用向量法能求出DP与CC'所成的角．
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是

DC

=(0，1，0)，由此能求出DP与平面AA'D'D所成的角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）如图，以D为原点，DA为单位长，
建立空间直角坐标系D-xyz．
则

DA

=(1，0，0)，

CC′

=(0，0，1)．
连结BD，B'D'．
在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．
设

DH

=(m，m，1)(m＞0)，
由已知＜

DH

，

DA

＞=60°，
由

DA

•

DH

=|

DA

||

DH

|cos＜

DA

，

DH

＞
得2m=

2m2+1

．解得m=

2

2

，
所以

DH

=(

2

2

，

2

2

，1)．（4分）
因为cos＜

DH

，

CC′

＞=

2 2 ×0+ 2 2 ×0+1×1

1× 2

=

2

2

，（6分）
所以＜

DH

，

CC′

＞=45°．
所以DP与CC'所成的角为45°，（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是

DC

=(0，1，0)．
因为cos＜

DH

，

DC

＞=

2 2 ×0+ 2 2 ×1+1×0

1× 2

=

1

2

，（12分）
所以＜

DH

，

DC

＞=60°．
所以DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（14分）

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．