Question

棱长均为3的三棱锥S-ABC，若空间一点P满足

SP

=x

SA

+y

SB

+z

SC

(x+y+z=1)，则|

SP

|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：欲求|

SP

|的最小值，将其平方，先利用空间向量的数量积运算出|

SP

|²，即

SP

2的值，再将题中条件：x+y+z=1代入运算，最后利用基本不等式即可求得最小值．

解答： 解：∵空间一点P满足

SP

=x

SA

+y

SB

+z

SC

(x+y+z=1)，
∵x+y+z=1，
∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1，
又x²+y²+z²≥xy+xz+yz，
∴xy+xz+yz≤

1

3

，
∴x²+y²+z²+xy+xz+yz
=1-（xy+xz+yz）≥

2

3

，
∴

SP

2=（x

SA

+y

SB

+z

SC

）²
=9（x²+y²+z²）+（2xy

SA

•

SB

+2xz

SA

•

SC

+2yz

SC

•

SB

）=9（x²+y²+z²+xy+xz+yz）≥6，
则|

SP

|的最小值为

6

．
故答案：

6

．

点评：本题主要考查了空间向量的数量积运算，以及基本不等式等知识，解答的关键是适当变形成可以利用基本不等式的形式．属于基础题．