Question

如图，四棱锥P-ABCD中，O为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MA=MC．
（1）求证：PB∥平面AMC；
（2）求证：平面PBD⊥平面AMC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明OM∥PB，从而可得线面平行；
（2）先证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PBD⊥平面AMC．

解答： 证明：（1）连结OM，
因为O为菱形ABCD对角线的交点，
所以O为BD的中点，
又M为棱PD的中点，
所以OM∥PB，…（2分）
又OM?平面AMC，PB?平面AMC，
所以PB∥平面AMC；                      （6分）
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，且O为AC的中点，
又MA=MC，故AC⊥OM，…（8分）
而OM∩BDO，OM，BD?平面PBD，
所以AC⊥平面PBD，…（11分）
又AC?平面AMC，
所以平面PBD⊥平面AMC．                              …（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．