Question

已知|

a

|=1，|

b

|=

2

（1）若

a

∥

b

，求

a

•

b

；
（2）若

a

，

b

的夹角为135°，求|

a

+

b

|；
（3）若

a

-

b

与

a

垂直，求

a

与

b

的夹角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由

a

∥

b

可得向量

a

，

b

的夹角θ为0°或180°，由数量积的定义可得；
（2）代入数据，由模长公式可得；（3）由垂直可得（

a

-

b

）•

a

=

a

2-

a

•

b

=0，可解夹角的余弦值，进而可得夹角．

解答： 解：（1）∵|

a

|=1，|

b

|=

2

，

a

∥

b

，
∴向量

a

，

b

的夹角θ为0°或180°，
∴

a

•

b

=|

a

||

b

|cos0°=

2

，
或

a

•

b

=|

a

||

b

|cos180°=-

2

；
（2）∵

a

，

b

的夹角为135°，
∴|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+2 a • b + b 2

=

1+2×1× 2 ×(- 2 2 )+2

=1；
（3）若

a

-

b

与

a

垂直，则（

a

-

b

）•

a

=

a

2-

a

•

b

=1-1×

2

×cos＜

a

，

b

＞=0，
解得cos＜

a

，

b

＞=

2

2

，
∴

a

与

b

的夹角为45°

点评：本题考查平面向量的基本运算，涉及模长公式以及平行与垂直，属基础题．