Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，PA⊥PD，E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PDC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（I）连接AC，利用三角形中位线的性质，证明EF∥PA，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）先证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，再证明PA⊥PD，可得PA⊥平面PCD，从而可得平面PAB⊥平面PCD．

解答： 证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，
在△CPA中，∵E为PC的中点，
∴EF∥PA，
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA
又∵PA⊥PD，CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD，
又PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD．

点评：本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．