Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F、G分别是AB，PB，CD的中点．
（1）求证：平面EFG∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明EF∥平面PAD，EG∥平面PAD，利用面面平行的判定定理，可以证明平面EFG∥平面PAD；
（2）先证明EF∥PA，再证明CD⊥平面PAD，即可证明EF⊥CD．

解答： 证明：（1）E、F分别是AB、PB的中点，
∴EF∥PA．
∵EF?平面PAD，PA?平面PAD，
∴EF∥平面PAD，
同理证明EG∥平面PAD，
∵EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAD；
（2）∵E、F分别是AB、PB的中点，
∴EF∥PA．
∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD．
又PD⊥底面ABCD，
∴AD是斜线PA在平面ABCD内的射影．
∴PA⊥CD．
∴EF⊥CD．

点评：垂直、平行问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．