Question

已知实数a，b满足|a|＜2，|b|＜2，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：选作题,不等式

分析：证法一，利用综合法；证法二，利用分析法证明．

解答： 证明：证法一：∵|a|＜2，|b|＜2，∴a²＜4，b²＜4，
∴4-a²＞0，4-b²＞0．…（2分）
∴（4-a²）（4-b²）＞0，即16-4a²-4b²+a²b²＞0，…（4分）
∴4a²+4b²＜16+a²b²，
∴4a²+8ab+4b²＜16+8ab+a²b²，…（6分）
即（2a+2b）²＜（4+ab）²，
∴2|a+b|＜|4+ab|．…（8分）
证法二：要证2|a+b|＜|4+ab|，
只需证4a²+4b²+8ab＜16+a²b²+8ab，…（2分）
只需证4a²+4b²＜16+a²b²，
只需证16+a²b²-4a²-4b²＞0，…（4分）
即（4-a²）（4-b²）＞0．…（6分）∵|a|＜2，|b|＜2，∴a²＜4，b²＜4，∴（4-a²）（4-b²）＞0成立．
∴要证明的不等式成立．…（8分）

点评：本题考查不等式的证明，综合法、分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．