Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E为PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面PAC⊥平面PDB．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC交BD于点O，连接EO，求证出EO是△PAC的中位线，得出EO∥PA，继而PA∥平面BDE；
（2）要证明平面PAC⊥平面PDB，只要证明AC⊥平面PBD，而根据已知条件可以求出．

解答： 解：（1）连接AC交BD于点O，连接EO，
∵ABCD是正方形，
∴A0=CO，
∵E为PC的中点，
∴EO是△PAC的中位线，
∴EO∥PA，
又EO?平面BDE，
∴PA∥平面BDE
（2）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC，
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PDB．
，

点评：本题考查了线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理，关键是转化为线线的位置关系．