Question

设关于x函数f（x）=cos2x-4acosx+2a其中0≤x≤

π

2

（1）将f（x）的最小值m表示成a的函数m=g（a）；
（2）是否存在实数a，使f（x）＞0在x∈[0，

π

2

]上恒成立？
（3）是否存在实数a，使函数f（x） 在x∈[0，

π

2

]上单调递增？若存在，写出所有的a组成的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,余弦函数的定义域和值域

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）换元，利用配方法，再分类讨论，即可求出函数m=g（a）；
（2）f（x）＞0恒成立?g（a）＞0，结合g（a）的最大值，即可得出结论；
（3）由题意，y=2（t-a）²-2a²+2a-1在[0，1]上单调递减，即可求出所有的a组成的集合．

解答： 解：（1）设t=cosx，由0≤x≤

π

2

知t∈[0，1]
f（x）=2cos²x-4acosx+2a-1=2（t-a）²-2a²+2a-1．
当a＜0时，g（a）=2a-1；
当0≤a≤1时，g（a）=-2a²+2a-1；
当a≥1时，g（a）=1-2a．
所以g（a）=

2a-1，a＜0 -2a2+2a-1，0≤a≤1 1-2a，a＞1

；
（2）f（x）＞0恒成立?g（a）＞0，
由于g（a）的最大值为-

1

2

，所以g（a）＞0无解．
故不存在a，使得f（x）＞0恒成立．
（3）因为t=cosx在[0，

π

2

]上的减函数，
所以f（x）在[0，

π

2

]上递增，只需y=2（t-a）²-2a²+2a-1在[0，1]上单调递减，故a≥1
所以存在a∈[1，+∞），使函数f（x）为增函数．

点评：本题考查的是余弦函数的定义域和值域，考查函数的最值与单调性，难度中等．