Question

如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z轴上，D是AB的中点，且AC=BC=2，∠VDC=θ．
（Ⅰ）当θ=

π

3

时，求向量

AC

与

VD

夹角α的余弦值的大小；
（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成角的取值范围．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）由已知条件求出

AC

=(-2，0，0)，

VD

=(1，1，-

6

)，由此能求出cosα．
（2）求出平面VAB的一个法向量，利用向量法能求出直线BC与平面VAB所成角的取值范围．

解答： 解：（1）由题设知：点V的坐标为（0，0，

6

），
点A的坐标为（2，0，0），点B的坐标为（0，2，0），点D的坐标为（1，1，0），
∴

AC

=(-2，0，0)，

VD

=(1，1，-

6

)，…．（2分）
∴

AC

•

VD

=-2，|

AC

|=2，|

VD

|=2

2

，…．（4分）
∴cosα=

AC • VD

| AC |•| VD |

=-

2

4

．…．（7分）
（2）由题意知

VD

=(1，1，-

2

tanθ)，
设平面VAB的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
由

AB • n =0 VD • n =0

，得

-2x+2y=0 x+y- 2 (tanθ)z=0

，
取x=1，得

n

=(1，1，

2

tanθ

)，…（10分）

BC

=(0，-2，0)，
设直线BC与平面VAB所成角为β，
则sinβ=|cos＜

n

，

BC

＞=|

2

2× 2(1+ 1 tan2θ )

|＜

2

2

，…（12分）
∴直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，

π

4

）．…（14分）

点评：本题考查两向量的夹角的余弦值的求法，考查直线与平面所成角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．