Question

已知函数y=

x2+2ax+3+2a

的值域为[0，+∞），则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：既然函数的值域是[0，+∞），则函数f（x）=x²+2ax+3+2a的函数值取遍所有的正实数，所以函数f（x）的图象与x轴相交或相切，因此△≥0，列出a的不等式解出s即为所求．

解答： 解：由题意函数y=

x2+2ax+3+2a

的值域为[0，+∞），
∴f（x）=x²+2ax+3+2a的函数值取遍所有的正实数，又该函数图象开口向上，
∴只需f（x）=x²+2ax+3+2a对应方程得判别式△=（2a）²-4（3+2a）≥0，
即a²-2a-3≥0，
解得a≤-1或a≥3．
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）

点评：这个题的关键是函数f（x）=x²+2ax+3+2a的函数值能够取遍所有的正实数，而非x²+2ax+3+2a≥0恒成立，借助于二次函数的图象可知，当该二次函数图象与x轴相切或相交时才能满足题意，所以判别式△≥0，解出a的值求解．