Question

设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同直线．
①若m⊥α，α⊥β，则m∥β
②若m⊥α，α∥β，则m⊥β
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
以上命题正确的是

 

．（将正确命题的序号全部填上）

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：由线面垂直的性质和面面垂直的性质，即可判断①；由垂直于两平行平面中的一个，垂直于另一个，来判断②；
根据面面平行的判定定理，即可判断③；运用线面垂直的性质定理和面面垂直的定义，即可判断④．

解答： 解：①若m⊥α，α⊥β，则m?β或m∥β，故①错；
②若m⊥α，α∥β，则m⊥β，故②正确；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β或α，β相交，只有m，n是α内的相交直线，才有α∥β，故③错；
④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则可将m，n平移至相交直线，则设m，n确定一平面γ，设γ∩α=a，γ∩β=b，α∩β=c，
则m⊥c，n⊥c，故c⊥γ，即有c⊥a，c⊥b，a，b所成的角为α，β所成的角，
由m⊥n，即有a⊥b故α⊥β，故④正确．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行的判断和性质，线面垂直的判断和性质，以及面面垂直的判断，记熟这些定理是迅速解题的关键．