Question

若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的有：

 

 （填上相应的序号）
①e^x≤1+x+x²
②

1

x+1

≤1-

1

2

x+

1

4

x²
③cosx≥1-

1

2

x²
④ln（1+x）≥x-

1

8

x²．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,不等关系与不等式

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：对于①，取x=3，e³＞1+3+3²，即可判断；
对于②，令x=1，

1

2

，计算可得结论；
对于③，构造函数h（x）=cosx-1+

1

2

x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数h（x）在[0，+∞）上单调增，故成立；
对于④，取x=3，计算可得结论．

解答： 解：对于①，取x=3，e³＞1+3+3²，所以不等式不恒成立；
对于②，x=1时，左边=

1

2

，右边=0.75，不等式成立；
x=

1

2

时，左边=

6

3

，右边=

13

16

，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；
对于③，构造函数h（x）=cosx-1+

1

2

x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，
∴h′（x）在[0，+∞）上单调增，∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴函数h（x）在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴cosx≥1-

1

2

x²，故③恒成立；
对于④，取x=3，ln（1+3）＜3-

9

8

，所以不等式不恒成立；
故答案为：③．

点评：本题考查大小比较，考查构造函数，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是解题的关键．