Question

设f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[-3，2]的最小值．
参考公式：（e^x）′=e^x，（f（x）g（x））′=（f（x））′g（x）+f（x）（g（x））′．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，再由f′（1）=0，求出a的值即可；（2）先求出导函数，解关于导函数的不等式，进而求出单调区间，（3）找出极值点，求出极值及端点值即可求出最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1），
由条件知，f′（1）=0，
故a+3+2a=0，
∴a=-1．
（2）f（x）=e^x（-x²+x+1），
于是f′（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1），
故当x∈（-∞，-2）和（1，+∞）时，f′（x）＜0；
当x∈（-2，1）时，f′（x）＞0，
从而f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上单调递减，在（-2，1）上单调递增．
（3）由（2）知，f（x）在（-3，-2）和（1，2）上单调递减，在（-2，1）上单调递增，所以，f（x）在x=-2或2处取得最小值，
f（-2）=-

5

e2

，f（2）=-e²，
∴f（x）在[-3，2]的最小值是f（2）=-e²．

点评：本题考察了函数的单调性，求函数闭区间上的最值问题，是一道基础题．