Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．
（1）证明EF∥平面A₁CD；
（2）证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接ED，证明四边形A₁DEF是平行四边形，可得EF∥A₁D．利用线面平行的判定定理，即可证明EF∥平面A₁CD；
（2）证明CD⊥面A₁ABB₁，即可证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁．

解答： 证明：（1）连接ED，∵ED∥AC，ED=

1

2

AC 
又∵F为A₁C₁的中点．
∴A₁F∥DE，A₁F=DE
∴四边形A₁DEF是平行四边形
∴EF∥A₁D
又A₁D?平面A₁CD，EF?平面A₁CD
∴EF∥平面A₁CD      　…（4分）
（2）∵A₁A⊥平面ABC，
∴A₁A⊥CD
∵D是AB的中点，
∴AB⊥CD
∴CD⊥面A₁ABB₁，
∴平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁．…（8分）

点评：本题考查线面平行，面面垂直，正确运用线面平行，面面垂直的判定定理是关键．