Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，且f（x）＞0的解集为（-3，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x＞-1时，求y=

f(x)-21

x+1

的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，且f（x）＞0的解集为（-3，2），可得方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根为-3，2，进而由韦达定理构造关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，可得f（x）的解析式；
（2）y=

f(x)-21

x+1

=-3[(x+1)+

1

x+1

-1]，当x＞-1时，由基本不等式可得y=

f(x)-21

x+1

的最大值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，且f（x）＞0的解集为（-3，2）．
∴方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根为-3，2．
由韦达定理知

-3+2=-1= -(b-8) a -3×2=-6= -a-ab a

，
解得：a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18．
（2）y=

f(x)-21

x+1

=

-3x2-3x-3

x+1

=-3•

x(x+1)+1

x+1

=-3(x+

1

x+1

)=-3[(x+1)+

1

x+1

-1]，
∵x＞-1，
∴x+1+

1

x+1

≥2，
当且仅当x+1=

1

x+1

，即x=0时取等号，
∴当x=0时，y_max=-3．

点评：本题考查的知识点是不等式，函数，方程之间的关系，基本不等式，是不等式与函数的综合应用，难度中档．