Question

已知函数y=

2-x 2+x

+

2x-2

的定义域为M，
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，求函数f（x）=2log₂²x+alog₂x的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：（1）根据平方根的性质，列出关于x的不等式组，求得函数的定义域，结果写成区间或集合形式；
（2）令t=log₂x，则原函数化为y=2t²+at，将问题转化为二次函数在指定区间上的最值问题，因含有字母参数，注意分类讨论．

解答： 解：（Ⅰ）要使函数y=

2-x 2+x

+

2x-2

有意义，只需

(x-2)(x+2)≤0 2x-2≥0，且x≠-2

解得：x∈[1，2]．
（Ⅱ）∵f(x)=2log22x+alog₂x，令t=log₂x，t∈[0，1]
则函数可化为g（t）=2t²+at，t∈[0，1]，其对称轴 t=-

a

4

，
当-

a

4

≤

1

2

，即a≥-2时，g（t）_max=g（1）=2+a，
当-

a

4

＞

1

2

，即a＜-2时，g（t）_max=g（0）=0，
综上可得：f(x)max=

2+a，a≥-2 0，a＜-2

．

点评：若函数没有实际背景，则其定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，一般是列出不等式组求解；第二问采用换元法将问题转化为二次函数的值域问题，注意分类讨论的依据是对称轴和区间的关系，一般分为区间左、区间右、区间内（若需要的话，讨论对称轴离区间左端点近、右端点近）几种情况．