Question

某种灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，某同学家一共用了这种灯泡4只．设这4只灯泡在使用1000小时后，坏了的灯泡数为随机变量X．
（1）求随机变量X的概率分布；    
（2）求随机变量X的数学期望和方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）随机变量X的取值为0，1，2，3，4，由题意知P（X=k）=

C

k 4

•0．8k•0．24-k，其中k=0，1，2，3，4．由此能求出随机变量X的分布列．
（2）由（1）能求出随机时变量X的数学期望和随机变量X的方差．

解答： 解：（1）随机变量X的取值为0，1，2，3，4，
在使用1000小时后，灯泡坏了的概率p=1-0.2=0.8，
P（X=k）=

C

k 4

•0．8k•0．24-k，其中k=0，1，2，3，4．
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	0.0016	0.0256	0.1536	0.4096	0.4096

（2）由（1）知：
随机时变量X的数学期望为：
E（X）=0.0256+2×0.1536+3×0.4096+4×0.4096=3.2．
随机变量X的方差为：
V（x）=（0-3.2）²×0.0016+（1-3.2）²×0.0256+（2-3.2）²×0.1536
+（3-3.2）²×0.4096+（4-3.2）²×0.4096=0.64．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．