Question

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx-2x．
（Ⅰ）若函数h（x）=f（x）+g（x）时，求函数h（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ag（x），求函数F（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件得h′(x)=2x-3+

1

x

，x＞0．由h′（x）＞0，能求出函数h（x）的单调增区间．
（Ⅱ）由题意知F′(x)=2x-(2a+1)x+

a

x

，由此能求出函数F（x）在区间[1，e]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-x，g（x）=lnx-2x，
∴h（x）=f（x）+g（x）=x²-3x+lnx，
∴h′(x)=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

，x＞0．
由h′（x）＞0，得x＞1或0＜x＜

1

2

，
∴函数h（x）的单调增区间为（0，

1

2

），（1，+∞）．
（Ⅱ）F（x）=f（x）+ag（x）
=x²-（2a+1）x+alnx，
F′（x）=2x-1-2a+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

=0．
当a≤1时，x∈[1，e]，F′（x）≥0，F（x）单调增，F（x）_min=-2a．
当1＜a＜e时，x∈（1，a），F′（x）＜0，F（x）单调减；
x∈（a，e），F′（x）＞0，F（x）单调增，
F(x)min=F(a)=-a2-a+alna．
当a≥e时，x∈[1，e]，F′（x）≤0，
F（x）单调减，F（x）_min=F（e）=e²-（2a+1）e+a．
综上，F(x)min=

-a2+alna，1＜a＜e e2-(2a+1)e+a，a≥e

．

点评：本题考查函数的增区间的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．